領域上で定義された関数上で構成されている有限N次元ヒルベルト空間がある、。 ここに標本点が、重みがとなる正規直交標本化基底が存在する時、N個の関数の組に対して、次の3条件が互いに同値であることを確認する。 なお、である (i) (ii) (iii) 以下で確認…

RKHSながあるとする。 任意に固定したp個の点に対して、を次のようにおく。 (m,n)成分がとなるようなp次正方行列をKと表す。 また、のベクトルをそれぞれと書くことにする。 このとき、となることを示したい。 とりあえず左辺にfとgの関係を突っ込んで 内積…

目的 以下で定義される、シュミットの内積の残りの性質を確認する。 以下が確認済みであるとする 確認したいのは、以下の5つ 5 まず、になる。シュミットの内積の定義に対して、内積の性質をそのまま突っ込む。 となるのでだいじょうぶそう 6 7 定義に戻って…

概要 任意の作用素に対して、が半正値自己共役なので、平方根が一意に定まる。 と書く。 Aは、と部分等長作用素を用いて、と書ける。これを極分解と呼ぶらしい。 これは、ヒルベルト空間の作用素ABに対して、が成立するなら、部分等長作用素Wを用いてと表す…

問題 を有界な線形作用素の列とする。（） がに一様収束するための必要十分条件が、Xの単位球面上の（つまり）に対して がに一様収束することであることを示したい 必要性 有界作用素なので、 となる。 なのでが収束すればが収束する。 十分性 なので、 右辺…

問題１ 逆だけ示す 8→2 8のようなθが存在するとき、 f= 1f =(1+0)f=(1f)+(0f)=f+θ ってことでf=f+θだから2が成立する。 8→3 8のようなθが存在するとき、 θ= 0f = (1+(-1))f = (1f) + ((-1)f)=f+((-1)*f) で、(-1)*f∈Xであるから、これをf'とすれば3が成立す…

問題設定 最初の問題 方針 X(1)の密度の計算 ハザードの計算 次の問題 方針 X(n)の密度の計算 ハザードの計算 不等式による評価 問題設定 確率変数は非負かつ、互いに独立な確率変数（同分布とは限らない） のハザードをと表す (↑これは、の密度関数を、累積…

伊藤の公式の練習 概要 次の3つの確率過程について、それぞれがマルチンゲールであることを確認する。 方針 伊藤積分はマルチンゲールであるため、それぞれのが伊藤積分の形で表現できることを確認できればOKなはず。 ひとつめ 伊藤の公式から 1項目と3項目…

やること とするとき 0以上の整数kに対し次のようなβを考える。 伊藤の公式を使って次のようになることを証明する。 計算 と考えると連続二回微分可能。 伊藤の公式（微分形）より。 第一項は消える なので期待値は で、例えば だし

やりたかったこと な関数と定数があって、次の等式がほとんど全てので成立しているとする。 このとき、以下のふたつが成り立つことを示せなかった。 前半戦 定数と伊藤積分に分ける。 両辺の期待値をとる。 伊藤積分の性質から、右辺=0であることがわかる。 …

概要 なんかいい感じの関数fがあったとする。 上のような関係を満たすとが存在すると仮定する。 このとき、どのようにを選んでも となるか考える。 計算 これをなんか色々頑張ってjensenの不等式とかで変形する。 なんのこと？ fに特定の条件がつけば、いと…

ブラウン運動を二乗して条件付き期待値を計算する。

状況 シグマ加法族の族がある、これの共通部分を取り、集合族を用意する つまりこういうこと 示したいこと 作った集合族もまた、シグマ加法族である。 何となく分かること 集合族の任意の要素は、もともとの全てに含まれる要素である。 証明 次の3要素を満た…

導入 W(t)をブラウン運動とし、次のようなB(t)を定義する。 signは符号関数。 B(t)はどんな感じ？ B(t)は伊藤過程であるため、2次変分は次で計算できる。 しかし符号関数を二乗すると常に1であるため しかしこれはブラウン運動の2次変分と等しくtとなる。 あ…

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目的 幾何ブラウン運動S(t)のp乗を微分する。 ただしかつとしておく。 幾何ブラウン運動 微分する 幾何ブラウン運動について、であるため、右辺第1項に代入する。 また、はdS(t)を形式的に二乗して代入する。 あとは適当に式変形するだけ これで終了 別の解…

目的 確定的な単過程に対する確率積分について 増分が独立であること なについて増分は でも、単過程は確定的だし、 なんだけど、 だから、独立の定義から であることが言える。 増分が正規分布に従う 平均 分散 分布形 でもは正規分布では確定的な単過程 つ…

目的 ドリフトのあるブラウン運動がマルコフ性を持つことを確認する 幾何ブラウン運動がマルコフ性を持つことを確認する 1 ドリフトの方 が、マルコフ性を満たし、次の推移密度を持つことを示す。 方針 任意のボレル可測関数fと謎のg(x)が存在し、それにより…

事前準備 Aをこんな感じに定義し、適当なボレル集合Bをとることができる。 条件付き期待値の計算 元の積分はこれ Aの上だけで値を取るような単関数を用いて、積分区間を上に書き換える。 （確率変数X上で考えるからと書き換えちゃダメなのだと思う） g(X)の…

概要 2つの帰無仮説において、カイ二乗統計量を計算するための何かを計算する。たぶん期待度数的な。 ある観測値がセル(i,j)に入る確率をで表すことにする。 対称 対称であるとはが成立すること。 C1 C2 C3 R1 R2 R3 この時の尤度関数は 対数尤度L=loglとし…

概要 をもつ生物検定問題で、このFを計算するための修正カイ二乗統計量を計算する。 問題設定 水準 において、大きさnの標本をそれぞれ採取して、反応数がそれぞれ だったとする。 このとき、反応曲線が次の二つの場合に、修正カイ二乗統計量を計算する。 そ…

概要 正規分布とガンマ分布において、1母数のみを検定する際、対立仮説が正しい場合での尤度比統計量の漸近分布は非心カイ二乗分布に従う。この非心度を計算する。 正規分布における例 未知の平均と既知の標準偏差をもつ正規分布から、大きさ1000の標本をと…

の下で尤度比検定を行う際、対立仮説における値ががものすごく近いときの検出力を近似する。 真の値はとし、その差を次のようにおく 帰無仮説の下での極限分布が次のように展開できる ここで、次のようなZを考える。 であるから、対数尤度比は次のようになる…

概要 多項分布の尤度比検定を計算する 多項分布 尤度 対数尤度 尤度比検定 帰無仮説 に対するを検定する。 検定統計量のもととなる尤度比は次のように定義される。 今回の帰無仮説はであるから、尤度比の分子はすべてのにを代入すればよい。 分母のほうは、…

次の分布から、大きさnの標本を取ってくる やりたいこと を推定したい。 最初に、モーメント法で推定する。 次に、ニュートン法で推定値を改善する。 モーメント法で推定量を計算 EXを求める。 なので、次のような推定量が考えられる。 改善 これを、ニュー…

概要 尺度パラメータのないロジスティック分布において、位置パラメータをスコア法で計算する際の更新式を書く。 ロジスティック分布 ここでは、ロジスティック分布に関わる各種関数を列挙する。 確率密度 対数尤度 対数尤度の一階微分 対数尤度の2階微分 フ…

概要 で なをパラメータに持つについて考える。 このとき、最尤推定量が真値に対して強一致性をもつかどうかを確かめる 密度関数は以下。 条件1： はコンパクト なので大丈夫そう 条件2：は上半連続 やは台から外れているので考えなくてよさそう。 のとき 連…

内容 ガンマ分布 のパラメータの推定量の分散の下限について。 ガンマ分布の密度関数 の推定量の分散の下限 以下では、を既知とし、の推定について考える。 の分散の下限は これ自体は ガンマ分布の推定量の漸近分布 - べんきのにっき で計算したのでそちら…

問題 2変量正規分布について、パラメータの関数の分散の下限を計算する。 確率密度関数 猛烈にながい 計算したいもの 大きさnの標本が得られた際、次の推定量の分散の下限を求める。 (a)母平均の差 (b)変動係数の逆数？ (c)共分散 使ってよいもの 次のように…

内容 次の確率密度を持つ大きさnの標本について、最尤推定量の漸近分布とかを計算する。 密度関数 ただしかつ 尤度関数 尤度をLとする ここで 、とおき、さらに変形する 対数尤度関数 対数尤度をlとおく であるから、 くらいの確率でになる可能性がある。 最…