概要

2つの帰無仮説において、カイ二乗統計量を計算するための何かを計算する。たぶん期待度数的な。

ある観測値がセル(i,j)に入る確率を $\displaystyle p _{ij}$ で表すことにする。

対称

対称であるとは $\displaystyle p _{ij} = p _{j,i}$ が成立すること。

	C1	C2	C3
R1	$p _{11}$	$p _{12}$	$p _{13}$
R2	$p _{12}$	$p _{2}$	$p _{23}$
R3	$p _{13}$	$p _{23}$	$p _{33}$

この時の尤度関数は

$\displaystyle l = \frac{n}{ \prod n _{ij} ! } \prod p _{ij} ^{n _{ij}}$

対数尤度L=loglとし、次の制約項を加える。 $\displaystyle \sum p _{ij} =1$

また、対称であることから、 $\displaystyle p _{ij} = p _{j,i}$

に注意して微分する。

$\displaystyle \frac{ \partial L}{ \partial p _{11}} = \frac{ n _{11}}{ p _{11}} - \lambda$

$\displaystyle \frac{ \partial L}{ \partial p _{21}} = \frac{ n _{12} + n _{21} }{ p _{21}} - 2 \lambda$

$\displaystyle \frac{ \partial L}{ \partial p _{22}} = \frac{ n _{22}}{ p _{22}} - \lambda$

$\displaystyle \frac{ \partial L}{ \partial p _{31}} = \frac{ n _{13} + n _{31}}{ p _{31}} - 2 \lambda$

$\displaystyle \frac{ \partial L}{ \partial p _{32}} = \frac{ n _{23} + n _{32}}{ p _{32}} - 2 \lambda$

$\displaystyle \frac{ \partial L}{ \partial p _{33}} = \frac{ n _{33}}{ p _{33}} - \lambda$

$\displaystyle p _{ij}$ について整理し、制約 $\displaystyle \sum p _{ij}=1$ を考慮すると、 $\displaystyle \lambda=n$ となることが分かる。

これを用いると、各pの最尤推定量は

$\displaystyle p _{11} = \frac{n _{11}}{n}$

$\displaystyle p _{21} = \frac{n _{12} + n _{21}}{2n}$

$\displaystyle p _{22} = \frac{n _{22}}{n}$

$\displaystyle p _{31} = \frac{n _{13} + n _{31}}{2n}$

$\displaystyle p _{32} = \frac{n _{23} + n _{32}}{2n}$

$\displaystyle p _{33} = \frac{n _{33}}{n}$

カイ二乗統計量は、計算した最尤推定量を用いて次のように計算すればよい。

$\displaystyle \chi ^{2} = \sum \frac{ (n _{ij} - np _{ij}) ^{2}}{n p _{ij}}$

対称かつ独立

$\displaystyle p _{1} + p _{2} + p _{3} =1$ であるという条件のもと、計算する。

ちょっとわかりにくいが、表で表すと大体こういう感じになる。

	C1	C2	C3
R1	$p _{1} ^{2}$	$p _{1} p _{2}$	$p _{1} p _{3}$
R2	$p _{2} p _{1}$	$p _{2} ^{2}$	$p _{2} p _{3}$
R3	$p _{3} p _{1}$	$p _{3} p _{2}$	$p _{3} ^{2}$

尤度関数lは次で表される。

$\displaystyle l = \frac{n}{ \prod n _{ij} ! } \prod p _{ij} ^{n _{ij}}$

$\displaystyle = \frac{n}{ \prod n _{ij} ! } p _{1} ^{2 x _{11} + x _{12} + x _{13} + x _{21} +x _{31}} p _{2} ^{ x _{12} + x _{21} +2 x _{22} + x _{23} +x _{32}} p _{3} ^{ x _{13} + x _{23} + x _{31} + x _{32} + 2x _{33}}$

対数尤度L=loglとし、次の制約項を加える。

$\displaystyle \sum p _{ij}=1$

それぞれのpについて微分すると

$\displaystyle \frac{\partial L }{\partial p _{1}} = \frac{1}{p _{1}} (2 x _{11} + x _{12} + x _{13} + x _{21} +x _{31}) - \lambda$

$\displaystyle \frac{\partial L }{\partial p _{2}} = \frac{1}{p _{2}} (x _{12} + x _{21} +2 x _{22} + x _{23} +x _{32}) - \lambda$

$\displaystyle \frac{\partial L }{\partial p _{3}} = \frac{1}{p _{3}} ( x _{13} + x _{23} + x _{31} + x _{32} + 2x _{33}) - \lambda$

$\lambda p _{ \cdot}= \cdots$ とおき整理した後、3つの和を取ると、 $\lambda=2n$ であることから

それぞれ次のように求められる

$\displaystyle p _{1} = \frac{1}{2n} (2 x _{11} + x _{12} + x _{13} + x _{21} +x _{31})$

$\displaystyle p _{2} = \frac{1}{2n} (x _{12} + x _{21} +2 x _{22} + x _{23} +x _{32})$

$\displaystyle p _{3} = \frac{1}{2n} (x _{13} + x _{23} + x _{31} + x _{32} + 2x _{33})$

べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

3×3のクロス集計表でいくつかの帰無仮説

概要

対称

対称かつ独立