対立仮説が近いときの尤度比検定の検出力

$\displaystyle H _{0} : \theta = \theta _{0}$ の下で尤度比検定を行う際、対立仮説における値ががものすごく近いときの検出力を近似する。

真の値は $\displaystyle \theta$ とし、その差を次のようにおく

$\displaystyle \delta= \sqrt{n} ( \theta - \theta _{0})$

帰無仮説の下での極限分布が次のように展開できる

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{n}} \dot{l} _{n} ( \theta _{0}) ^{t} \sim \frac{1}{ \sqrt{n}} \dot{l} _{n} ( \theta ) ^{t} + \frac{1}{ \sqrt{n}} \ddot{l} _{n} ( \theta ) \sqrt{n} ( \theta _{0} - \theta )$

$\displaystyle \xrightarrow{\mathscr{L}} Y \in \mathscr{I} ( \theta _{0} ) \delta + \mathscr{N} (0 , \mathscr{I} ( \theta _{0} ) ) = \mathscr{N} ( \mathscr{I} ( \theta _{0} ) \delta , \mathscr{I} ( \theta _{0} ) )$