やること

$\displaystyle B _{t} \in R , B _{0}=0$ とするとき

0以上の整数kに対し次のようなβを考える。

$\displaystyle \beta _{k} (t) = E [ B _{t} ^{k} ]$

伊藤の公式を使って次のようになることを証明する。

$\displaystyle \beta _{k} (t) = \frac{1}{2} k(k-1) \int _{0}^{t} \beta _{k-2} (s)ds$

計算

$\displaystyle g(t,x)=x ^{k}$ と考えると連続二回微分可能。伊藤の公式（微分形）より。

$\displaystyle dg(t, B _{t} )=d(B _{t} ^{k}) = k B _{t} ^{k-1} dB _{t} + \frac{k(k-1)}{2} B _{t} ^{k-2}dt$

$\displaystyle B _{t} ^{k} = k \int _{0}^{t} B _{s} ^{k-1} dB _{s} + \frac{1}{2} k(k-1) \int _{0}^{t} B _{s} ^{k-2} ds$

第一項は消える

なので期待値は

$\displaystyle E [ B _{t} ^{k} ] = \frac{k(k-1)}{2} \int _{0}^{t} E[ B _{s} ^{k-2} ] ds$

で、例えば

$\displaystyle E [ B _{t} ^{4} ] = 6 \int _{0}^{t} E[ B _{s} ^{2} ] ds =6 \int _{0}^{t} s ds =3 t ^{2}$

だし

$\displaystyle E [ B _{t} ^{6} ] = 15 \int _{0}^{t} 3s ^{2} ds =15 t ^{3}$