問題

確率変数x,y,zがあり、それぞれ独立に次の正規分布に従うとする。

$\displaystyle x,y,z \sim N(4000, 500 ^{2} ) i.i.d$

このとき、確率P(x>y , x>z)はいくらになるか。

自分の解き方

全部同一の分布であるため、N(0,1)で考えても一般性を失わない。

独立であることから、P(x,y,z)の同時分布は単に積をとるだけでよい。

$\displaystyle P(x,y,z )= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} x ^{2} \right) \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} y ^{2} \right) \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} z ^{2} \right)$

求める確率は、次の積分により求められる。

$\displaystyle P( x \gt y , x \gt z)$

$\displaystyle = \int _{- \infty} ^{ \infty } dx \int _{- \infty} ^{ x } dy \int _{- \infty} ^{ x } dz \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} x ^{2} \right) \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} y ^{2} \right) \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} z ^{2} \right)$

全て独立であることから、yとzは簡単に積分できる。

$\displaystyle = \int _{- \infty} ^{ \infty } dx \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} x ^{2} \right) \left( \int _{- \infty} ^{ x } dt \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} t ^{2} \right) \right) ^{2}$

ここで、 $\frac{d}{dx} \left( \int _{- \infty} ^{x} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} t ^{2} \right) dt \right) ^{3} = 3 \left( \int _{- \infty} ^{x} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} t ^{2} \right) \right) ^{2} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} x ^{2} \right)$ であることを利用すると、次のように変形できる。

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{ 3} \left( \int _{- \infty} ^{ x } dt \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{1}{2} t ^{2} \right) \right) ^{3} \right] _{- \infty} ^{ \infty}$