事前準備

Aをこんな感じに定義し、適当なボレル集合Bをとることができる。

$\displaystyle A = \left\{ \omega \in \Omega ; X ( \omega ) \in B \right\}$

条件付き期待値の計算

元の積分はこれ

$\displaystyle \int_{A} g(X)dP$

Aの上だけで値を取るような単関数を用いて、積分区間を $\displaystyle \mathbb{R}$ 上に書き換える。

（確率変数X上で考えるから $\displaystyle I_{A}$ と書き換えちゃダメなのだと思う）

$\displaystyle = \int_{ -\infty} ^{ \infty} g(X) 1_{B} f_{X}(x) dx$

g(X)の定義から

$\displaystyle = \int_{ -\infty} ^{ \infty} \int_{ -\infty} ^{ \infty} \frac{ yf _{X,Y}(x,y) }{ f _{X}(x) } dy 1_{B} f _{X}(x) dx$

$\displaystyle = \int_{ -\infty} ^{ \infty} \int_{ -\infty} ^{ \infty} yf _{X,Y}(x,y) 1 _{B} dxdy$

ここで、 $\displaystyle 1_{B}$ の定義から、Xについての関数と見ることができるので、これを $\displaystyle 1_{B}(X)$ と置き直す。

$\displaystyle = \int _{ - \infty} ^{ \infty} \int _{ -\infty} ^{ \infty} y1 _{B}(X) f _{X,Y}(x,y) dxdy$

（これは $\displaystyle y1 _{B}(X)$ の期待値 $\displaystyle \mathbb{E} \left( y1_{B}(X) \right)$ となっていると考えればよい？）

XをR上ではなく集合の方で考えることにすると

$\displaystyle \mathbb{E} \left( y1 _{A} \right)$

単関数を含まない形に書き換えると

$\displaystyle \int_{A} Yd \mathbb{P}$