目的

ドリフトのあるブラウン運動がマルコフ性を持つことを確認する

1 ドリフトの方

$\displaystyle X(t)= \mu t + W(t)$

が、マルコフ性を満たし、次の推移密度を持つことを示す。

$\displaystyle p( \tau , x ,y) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \tau}} f(y) \exp \left( - \frac{(y-x- \mu \tau) ^2 }{2 \tau} \right)$

方針

任意のボレル可測関数fと謎のg(x)が存在し、それにより次の等式が成立すればよい。

$\displaystyle E [ f(X(t))| \mathscr{F} (s) ] =g(X(s))$

解く

$\displaystyle E [ f(X(t))| \mathscr{F} (s) ]$

いい感じに変形する

$\displaystyle = E [ f(W(t) -W(s) +W(s) + \mu t)| \mathscr{F} (s) ] =g(X(s))$

W(s)+μtはF(s)可測で、これをｋとおく。また、W(t)-W(s)はF(s)独立な正規確率変数であり、これをwとおく。独立性の補題より

$\displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi (t-s)}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(w+k) \exp \left( - \frac{w ^{2}}{ 2(t-s)} \right)$

kをもとに戻して、y=w+kと変数を変換する。

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi (t-s)}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(y) \exp \left( - \frac{(y - W(s) - \mu t ) ^{2}}{ 2(t-s)} \right)dy$

で、 $y-W(s)- \mu t = y - W(s)- \mu s - \mu (t-s)= y - X(s)- \mu (t-s)$ であるから

$\displaystyle = \frac{1}{ \sqr{ 2 \pi (t-s)}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(y) \exp \left( - \frac{(y - W(s) - \mu t ) ^{2}}{ 2(t-s)} \right)dy$

$\displaystyle = \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(y) p( (t-s),W(s),y)$

幾何ブラウン運動の方

$\displaystyle S(t)= S(0) \exp \left( \sigma W(t) + \nu t \right)$

が、マルコフ性を満たし、次の推移密度を持つことを示す。

$\displaystyle p( \tau , x ,y) = \frac{1}{ \sigma y \sqrt{2 \pi \tau}} f(y) \exp \left( - \frac{( \log \frac{y}{x}- \nu \tau) ^2 }{2 \sigma ^{2} \tau} \right)$

方針

任意のボレル可測関数fと謎のg(x)が存在し、それにより次の等式が成立すればよい。

$\displaystyle E [ f(S(t))| \mathscr{F} (s) ] =g(S(s))$

解く

$\displaystyle = E [ f( \frac{S(t)}{S(s)}S(s))| \mathscr{F} (s) ]$

$\displaystyle = E [ f( \exp ( \sigma ( W(t) -W(s) ) ) \exp ( \nu (t-s)) \ S(s) )| \mathscr{F} (s) ]$

$\exp ( \nu (t-s)) \ S(s)$ はF(s)可測W(t)-W(s)は独立で正規分布。

後者をw、前者をkとおく

独立性の補題から

$\displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi (t-s)}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f( k \exp ( \sigma w ) ) \exp \left( - \frac{w ^{2}}{ 2(t-s)} \right) dw$

$k e ^{ \sigma w}=w$ で変数変換する。

$\displaystyle = \frac{1}{\sigma y \sqrt{ 2 \pi (t-s)}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(y) \exp \left( - \frac{ ( \log y - \log k ) ^{2}}{ 2 \sigma ^{2}(t-s)} \right) dw$

kを戻す

$\displaystyle = \frac{1}{\sigma y \sqrt{ 2 \pi (t-s)}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(y) \exp \left( - \frac{ ( \log y - \nu (t-s) + \log S(s) ) ^{2}}{ 2 \sigma ^{2}(t-s)} \right) dw$

整頓する

$\displaystyle = \frac{1}{\sigma y \sqrt{ 2 \pi \tau}} \int _{ - \infty} ^{ \infty} f(y) \exp \left( - \frac{ ( \log \frac{y}{S(s)} - \nu \tau ) ^{2}}{ 2 \sigma ^{2} \tau} \right) dw$