問題設定

確率変数 $\displaystyle X _{1} \cdots X _{n}$ は非負かつ、互いに独立な確率変数（同分布とは限らない）
$\displaystyle X _{i}$ のハザードを $\displaystyle \lambda _{i} (x)$ と表す

(↑これは、 $\displaystyle X _{i}$ の密度関数を $\displaystyle f _{i} (x)$ 、累積分布関数を $\displaystyle F _{i} (x)$ としたときに $\displaystyle \lambda _{i} (x) = \frac{ f _{i} (x)}{1-F _{i} (x)}$ となるってこと)

最初の問題

$\displaystyle \lambda _{X(1)} (x) = \sum \lambda _{i} (x)$ を示す。

方針

$\displaystyle X _{(1)}$ の密度関数 $\displaystyle f _{X _{(1)}} (x)$ を求める。
$\displaystyle X _{(1)}$ の密度関数 $\displaystyle f _{X _{(1)}} (x)$ を積分してハザードを求める。

X(1)の密度 $\displaystyle f _{X _{(1)}} (x)$ の計算

i.i.d.ではないことに注意し、密度関数を求める。 $\displaystyle X _{i}$ が一番小さくなる確率密度を考えると、次のようになる。

$\displaystyle f _{X _{(1)}} (x) = \sum _{i} f _{i} (x) \left( \prod _{i \neq j} \{ 1- F _{j} (x)\} \right) = \prod _{k} \{ 1- F _{k} (x)\} \sum _{i} \frac{ f _{i} (x) }{1- F _{i}(x)}$

P(X1が最小)+P(X2が最小)+P(X3が最小)+P(X4が最小)・・・と考えている。

ハザードの計算

ハザードは次の通り。分子は密度そのままであるが、分母を計算する必要がある。

$\displaystyle \lambda _{X(1)} (x) = \frac{f _{X _{(1)}} (x)}{1- F _{X _{(1)}} (x)}$

上で求めた密度を用いて、分母は次のように表せる。

$\displaystyle 1-F _{X _{(1)}} (x) = 1- \int _{0} ^{x} \sum _{i} f _{i} (t) \left( \prod _{i \neq j} \{ 1- F _{j} (t)\} \right) dt$

ここで、右辺第二項は積の微分の形となっていることに注意すると、簡単に積分できる。

$\displaystyle \int _{0} ^{x} \sum _{i} f _{i} (t) \left( \prod _{i \neq j} \{ 1- F _{j} (t)\} \right) dt = \left[ - \prod _{i} \{ 1- F _{i} (t) \} \right]_{0}^{x}$

$\displaystyle = \left( - \prod _{i} \{ 1- F _{i} (x) \} \right) - \left( - \prod _{i} \{ 1- F _{i} (0) \} \right) = - \prod _{i} \{ 1- F _{i} (x) \} + 1$

例えば3つの積の微分は、 $\displaystyle (f(x)g(x)h(x))'= f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$ となる。

これをハザードの式に代入すると、次のように変形できる。

$\displaystyle \lambda _{X(1)} (x) = \frac{f _{X _{(1)}} (x)}{1- (- \prod _{i} \{ 1- F _{i} (x) \} + 1)} = \frac{f _{X _{(1)}} (x)}{ \prod _{i} \{ 1- F _{i} (x) \} }$

$\displaystyle = \frac{\prod _{i} \{ 1- F _{i} (x)\}}{ \prod _{j} \{ 1- F _{j} (x) \} } \sum _{k} \frac{ f _{k} (x) }{1- F _{k}(x)} = \sum _{i} \lambda _{i} (x)$

以上で、証明できたはず。

次の問題

$\displaystyle \lambda _{X(n)} (x) \leq \sum \lambda _{i} (x)$ を示す。

方針

$\displaystyle X _{(n)}$ の密度関数 $\displaystyle f _{X _{(n)}} (x)$ を求める。
$\displaystyle X _{(n)}$ の密度関数 $\displaystyle f _{X _{(n)}} (x)$ を積分してハザードを求める。
$\displaystyle \lambda _{X(n} (x)$ と $\displaystyle \sum \lambda _{i} (x)$ を不等式で評価する。

X(n)の密度 $\displaystyle f _{X _{(n)}} (x)$ の計算

全問と同様i.i.d.ではないことに注意し、密度関数を求める。 $\displaystyle X _{i}$ が一番大きくなる確率密度を考えると、次のようになる。

$\displaystyle f _{X _{(n)}} (x) = \sum _{i} f _{i} (x) \left( \prod _{i \neq j} F _{j} (x) \right) = \prod _{k} F _{k} (x) \sum _{i} \frac{ f _{i} (x) }{F _{i}(x)}$

（P(X1が最大)+P(X2が最大)+P(X3が最大)+P(X4が最大)・・・と考えている）

ハザードの計算

ハザードは次の通り。分母を計算する。

$\displaystyle \lambda _{X(n)} (x) = \frac{f _{X _{(n)}} (x)}{1- F _{X _{(n)}} (x)}$

前問と同様、分母を計算する。

$\displaystyle 1-F _{X _{(n)}} (x) = 1- \int _{0} ^{x} \sum _{i} f _{i} (t) \left( \prod _{i \neq j} F _{j} (t) \right) dt$

右辺第二項は積の微分の形となっていることに注意すると、簡単に積分できる。

$\displaystyle \int _{0} ^{x} \sum _{i} f _{i} (t) \left( \prod _{i \neq j} F _{j} (t) \right) dt = \left[ \prod _{i} F _{i} (t) \right]_{0}^{x}$

$\displaystyle = \left( \prod _{i} F _{i} (x) \} \right) - \left( \prod _{i} \{ F _{i} (0) \} \right) = \prod _{i} F _{i} (x)$

これをハザードの式に代入すると、次のように変形できる。

$\displaystyle \lambda _{X(n)} (x) = \frac{f _{X _{(n)}} (x)}{1- \prod _{i} F _{i} (x)} = \frac{ \prod _{i} F _{i} (x)}{1- \prod _{i} F _{i} (x)} \sum _{i} \frac{ f _{i} (x) }{F _{i}(x)}$

不等式による評価

評価を行う前に、少し整理する。 $\displaystyle \lambda _{X(n)} (x)$ に出てくる $\displaystyle \frac{ f _{i} (x) }{F _{i}(x)}$ はハザードの定義から、 $\displaystyle \frac{ f _{i} (x) }{F _{i}(x)}= \frac{\lambda _{i} (x)}{F _{i}(x)} - \lambda _{i} (x)$ と変形でき、これを利用して整理する。

$\displaystyle \lambda _{X(n)} (x) - \sum \lambda _{i} (x)= \frac{ \prod _{i} F _{i} (x)}{1- \prod _{i} F _{i} (x)} \sum _{i} \left( \frac{ \lambda _{i} (x) }{F _{i}(x)}-\lambda _{i} (x) \right) - \sum \lambda _{i} (x)$

$\displaystyle = \frac{ 1}{1- \prod _{i} F _{i} (x)} \sum _{i} \left( \prod _{j} F _{j} (x) \frac{ \lambda _{i} (x) }{F _{i}(x)}-\lambda _{i} (x) \right)$