べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

長さのへいきん

概要

n次元ブラウン運動 \displaystyle B _{t} と、 \displaystyle R ^{n} のボレル集合 \displaystyle F があるとする。Fのルベーグ測度が0のとき、 \displaystyle B _{t} が \displaystyle F に滞在する時間tの全長の平均が0になると嬉しい。

計算

滞在する時間のきたいちTは次の通り

\displaystyle T= E [ \int _{0}^{\infty} 1 _{F}(B _{t})dt ] = \int _{0}^{\infty} \int _{F} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{x ^{2}}{2t} \right) dxdt

もし \displaystyle F のるべーぐそくどが0( \displaystyle \mu(F)=0 )なら、

\displaystyle \int _{F} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{x ^{2}}{2t} \right) dx=0

となるのでT=0。

逆に、T=0のとき。どんなtに対してもほとんど確実に

\displaystyle \int _{F} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{x ^{2}}{2t} \right) dx=0

となる。

でも、積分したい関数はほとんど確実に0でない。となると \displaystyle \mu(F)=0 となるしかない。