やりたかったこと

$\displaystyle f,g \in \mathscr{V} (S,T)$ な関数と定数 $\displaystyle C,D$ があって、次の等式がほとんど全ての $\omega \in \Omega$ で成立しているとする。

$\displaystyle C+ \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB _{t} ( \omega) = D + \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega)$

このとき、以下のふたつが成り立つことを示せなかった。

$\displaystyle C=D$

$\displaystyle f(t, \omega)= g(t, \omega)$

前半戦

定数と伊藤積分に分ける。

$\displaystyle C-D = \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega) - \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB _{t} ( \omega)$

両辺の期待値をとる。

$\displaystyle E [ C- D ] = E \left[ \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega) - \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB _{t} ( \omega) \right]$

伊藤積分の性質 $\displaystyle E \left[ \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega) \right] =0$ から、右辺=0であることがわかる。

（↑これ正しいですか？ $\displaystyle f,g \in \mathscr{V} (0,T)$ なら定理3.2.1の通りだけど、この問題は $\displaystyle f,g \in \mathscr{V} (S,T)$ だからこう考えていいか謎）

なので次のことがわかった。

$\displaystyle E [ C- D ] = 0$

$\displaystyle E \left[ \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega) - \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB _{t} ( \omega) \right] =0$

CとDは定数だから、とりあえずこの時点で $\displaystyle C= D$ ということは示せた気がする。

後半戦

定数と伊藤積分にわけた式

$\displaystyle C-D = \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega) - \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB _{t} ( \omega)$

の両辺を二乗して期待値をとる

$\displaystyle E [ (C- D) ^{2} ] = E \left[ \left( \int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB _{t} ( \omega) - \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB _{t} ( \omega) \right)^{2} \right]$

ちょっと整理して

$\displaystyle E [ (C- D) ^{2} ] = E \left[ \left( \int _{S} ^{T} (g(t, \omega)- f(t, \omega)) dB _{t} ( \omega) \right)^{2} \right]$

伊藤積分の等長性から

$\displaystyle E [ (C- D) ^{2} ] = E \left[ \int _{S} ^{T} (g(t, \omega)- f(t, \omega)) ^{2} dt \right]$

でも $\displaystyle C= D$ であることを思い出すと、

$\displaystyle 0=E [ (C- D) ^{2} ] = E \left[ \int _{S} ^{T} (g(t, \omega)- f(t, \omega)) ^{2} dt \right]$

で、 $\displaystyle E \left[ \int _{S} ^{T} (g(t, \omega)- f(t, \omega)) ^{2} dt \right]=0$ ということはルベーグ積分の方の性質から、ほとんどいたるところで

$\displaystyle f(t, \omega)= g(t, \omega)$

であると言えるはず。

（ここもよく分からなかった。 $L ^{2}$ 収束から $\displaystyle \int _{S} ^{T} f(t, \omega)dB_{t} =\int _{S} ^{T} g(t, \omega)dB_{t}$ が言えるけど、こっちを使うのかな？）

べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

(3,15)二つの関数と二つの定数

やりたかったこと

前半戦

後半戦