目的

ただし $p >0$ かつ $p \neq 1$ としておく。

幾何ブラウン運動

$\displaystyle S(t) = S(0) \exp \left\{ \sigma W(t) + \left( \alpha - \frac{1}{2} \sigma ^{2} \right)t \right\}$

微分する

$\displaystyle d( S _{t} ^{p}) = p S _{t} ^{p-1} dS _{t} + \frac{1}{2}p(p-1) S _{t} ^{p-2} d \langle S _{t} \rangle$

幾何ブラウン運動について、 $\displaystyle d S _{t} = \alpha S _{t} dt + \sigma S _{t} d W(t)$ であるため、右辺第1項に代入する。

また、 $\displaystyle d \langle S _{t} \rangle$ はdS(t)を形式的に二乗して代入する。

$\displaystyle = p S _{t} ^{p-1} ( \alpha S _{t} dt + \sigma S _{t} dW _{t}) + \frac{1}{2}p(p-1) S _{t} ^{p-2} \sigma ^{2} S _{t} ^{2} dt$

あとは適当に式変形するだけ

$\displaystyle = S _{t} ^{p} \left[ p \alpha dt + p \sigma d W _{t} + \frac{1}{2}p(p-1) \sigma ^{2} dt \right]$

これで終了

$\displaystyle = p S _{t} ^{p} \left[ \sigma d W _{t} + \left( \alpha + \frac{p-1}{2} \sigma ^{2} \right)dt \right]$

別の解法

「p乗とはいっても指数の部分がp倍になるだけだし、こんな事しなくても普通に計算できるのでは？」みたいな話になった。

実際そんな感じはする。

伊藤過程 $X(t)$ に対し、 $f(x)=S ^{p}(0) e ^{px}$ と考えれば、普通に伊藤-デブリンの公式で計算できそうだ。

$\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)=S ^{p}(0) pe ^{px}$

$\displaystyle \frac{d ^{2} }{dx ^{2} } f(x)=S ^{p}(0) p ^{2}e ^{px}$

であるから、伊藤-デブリンの公式より

$d(f(X (t) ))= S ^{p}(0) pe ^{pX(t)} dX(t) + \frac{1}{2} S ^{p}(0) p ^{2}e ^{pX(t)}dX(t)dX(t)$

ここで、 $\displaystyle dX(t)= \sigma dW(t) + \left( \alpha - \frac{1}{2} \sigma ^{2} \right) dt$ 、 $\displaystyle dX(t)dX(t)= \sigma ^{2}dt$ であるため、これを代入する。

$\displaystyle = S ^{p}(0) p e ^{pX(t)} \left[ \sigma dW(t) + \left( \alpha - \frac{1}{2} \sigma ^{2} \right) dt \right] + \frac{1}{2} S ^{p}(0) p ^{2} e ^{pX(t)} \sigma ^{2}dt$