問題

2変量正規分布について、パラメータの関数の分散の下限を計算する。

確率密度関数

$\displaystyle f(x,y | \mu _{1} , \mu _{2} , \sigma _{1} , \sigma _{2} , \rho ) = \frac{1}{ 2 \pi \sqrt{1- \rho ^{2}} \sigma _{1} \sigma _{2}} \exp \left( - \frac{1}{2(1- \rho ^2)} \left( \left( \frac{x- \mu _{1}}{ \sigma _{1}} \right) ^{2} -2 \rho \left( \frac{x- \mu _{1}}{ \sigma _{1}} \right) \left( \frac{x- \mu _{2}}{ \sigma _{2}} \right)+ \left( \frac{x- \mu _{2}}{ \sigma _{2}} \right) ^{2} \right) \right)$

猛烈にながい

計算したいもの

大きさnの標本が得られた際、次の推定量の分散の下限を求める。

(a)母平均の差

$\displaystyle \mu _{1} - \mu _{2}$

(b)変動係数の逆数？

$\displaystyle \frac{ \mu _{1} }{ \sigma _{1}}$

(c)共分散

$\displaystyle \sigma _{12} = \rho \sigma _{1} \sigma _{2}$

使ってよいもの

次のようにパラメータベクトルをおく。

$\theta = ( \mu _{1} , \mu _{2} , \sigma _{1} , \sigma _{2} , \rho) ^{T}$

なんか行列に $\sigma$ おくとうまく描画されないので、 $\sigma$ を $s$ と置き換える。

$\theta = ( \mu _{1} , \mu _{2} , s _{1} , s _{2} , \rho) ^{T}$

2変量正規分布のフィッシャー情報行列の逆行列 $\mathscr{I} (\theta) ^{-1}$

$$ \mathscr{I} ( \theta ) ^{-1} = \begin{pmatrix} s _{1} ^{2} & - \rho s _{1} s _{2} & 0 & 0 & 0 \\ - \rho s _{1} s _{2} & s _{2} ^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ s _{1} ^{2} }{2} & \frac{ \rho ^{2} s _{1} s _{2} }{2} & \frac{ \rho s _{1} (1- \rho ^2) }{2} \\ 0 & 0 & \frac{ \rho ^2 s _{1} s _{2} }{2} & \frac{ s _{2} ^{2} }{2} & \frac{ \rho s _{2} (1- \rho ^2) }{2} \\ 0 & 0 & \frac{ \rho s _{1} (1- \rho ^2) }{2} & \frac{ \rho s _{2} (1- \rho ^2) }{2} & (1- \rho ^{2}) ^{2} \end{pmatrix} $$

(a)母平均の差

この推定量を $T _{1}$ とおく。 $\theta$ の関数として考えられるので、これを $f _{1} (\cdot) : \mathbb{R} ^{5} \to \mathbb{R}$ とおく。

$\displaystyle T _{1} = f _{1} ( \theta ) = \mu _{1} \mu - _{2}$

偏微分したものを $D _{1}$ とおく

$\displaystyle D _{1} = \frac{ \partial }{ \partial \theta } f _{1} ( \theta ) = ( 1,-1,0,0,0) ^{T}$

連続だろうし厳密なことは考えずに進める。

$T _{1}$ の分散は次のように計算できる。

$\displaystyle V(T _{1} ) = D _{1} ^{T} \mathscr{I} ( \theta ) ^{-1} D _{1}$

$\displaystyle = ( \sigma _{1} ^{2} - \rho \sigma _{1} \sigma _{2} ,\rho \sigma _{1} \sigma _{2} - \sigma _{2} ^{2} ,0,0,0) D _{1}$

$\displaystyle = \sigma _{1} ^{2} - 2 \rho \sigma _{1} \sigma _{2} + \sigma _{2} ^{2}$

フィッシャー情報量の加法性を考えると、nで割ればよい。答えは以下

$\displaystyle \frac {V(T _{1} )}{n} = \frac{1}{n} \left( \sigma _{1} ^{2} - 2 \rho \sigma _{1} \sigma _{2} + \sigma _{2} ^{2} \right)$

(b)変動係数の逆数?

この推定量を $T _{2}$ とおく。 $\theta$ の関数として考えられるので、これを $f _{2} (\cdot) : \mathbb{R} ^{5} \to \mathbb{R}$ とおく。

$\displaystyle T _{2} = f _{2} ( \theta ) = \frac{ \mu _{1}}{ \sigma _{1}}$

偏微分したものを $D _{2}$ とおく

$\displaystyle D _{2} = \frac{ \partial }{ \partial \theta } f _{2} ( \theta ) = \left( \frac{1}{ \sigma _{1}} ,0, - \frac{ \mu _{1}}{ \sigma _{1} ^{2}} ,0,0 \right) ^{T}$

連続だろうし厳密なことは考えずに進める。

$T _{2}$ の分散は次のように計算できる。

$\displaystyle V(T _{2} ) = D _{2} ^{T} \mathscr{I} ( \theta ) ^{-1} D _{2}$

$\displaystyle = \left( \sigma _{1} , \rho \sigma _{2} , - \frac{ \mu _{1} }{2} , - \frac{ \rho ^{2} \mu _{1} \sigma _{2}}{ 2 \sigma _{1}} , \frac{ \rho (1- \rho ^{2} ) \mu _{1} }{2 \sigma _{1}} \right) D _{2}$

$\displaystyle =1+ \frac{ \mu _{1} ^{2}}{ 2 \sigma _{1} ^{2}}$

aと同様にnで割る。答えは以下

$\displaystyle \frac {V(T _{2} )}{n} = \frac{1}{n} \left( 1+ \frac{ \mu _{1} ^{2}}{ 2 \sigma _{1} ^{2}} \right)$

(c)共分散

この推定量を $T _{3}$ とおく。 $\theta$ の関数として考えられるので、これを $f _{3} (\cdot) : \mathbb{R} ^{5} \to \mathbb{R}$ とおく。

$\displaystyle T _{3} = f _{3} ( \theta ) = \rho \sigma _{1} \sigma _{2}$

偏微分したものを $D _{3}$ とおく

$\displaystyle D _{3} = \frac{ \partial }{ \partial \theta } f _{3} ( \theta ) = \left( 0,0, \rho \sigma _{2} , \rho \sigma _{1} , \sigma _{1} \sigma _{2} \right) ^{T}$

連続だろうし厳密なことは考えずに進める。

$T _{3}$ の分散は次のように計算できる。

$\displaystyle V(T _{3} ) = D _{3} ^{T} \mathscr{I} ( \theta ) ^{-1} D _{3}$

$\displaystyle = \left( 0,0, \rho \sigma _{1} ^{2} \sigma _{2} , \rho \sigma _{1} \sigma _{2} ^{2} , (1 -\rho ^{2} ) \sigma _{1} \sigma _{2} \right) D _{3}$