概要

$\displaystyle F (x | \theta)$ をもつ生物検定問題で、このFを計算するための修正カイ二乗統計量を計算する。

問題設定

水準 $\displaystyle x _{1} , x _{2} , x _{3} , \cdots , x {d}$ において、大きさnの標本をそれぞれ採取して、反応数がそれぞれ $\displaystyle n _{1} , n _{2} , \cdots , n _{d}$ だったとする。

このとき、反応曲線が次の二つの場合に、修正カイ二乗統計量を計算する。

その１：正規分布の累積分布関数

$\displaystyle F (x | \theta) = \Phi ( \alpha + \beta x) = \int _{- \infty} ^{ \alpha + \beta x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{x ^{2}}{2} \right)$

その２：何か裾が広そうなやつ

$\displaystyle F(x | \theta) = \frac{1}{ \pi } \left( arctan ( \alpha + \beta x \right) + \frac{1}{ \pi}$

正規分布の累積分布関数の場合

カイ二乗統計量は次のようになる。これを変換する。

$\displaystyle \chi ^{2} = n \sum _{i=1} ^{d} \frac{ \left( \frac{n _{i} }{n} - F(x _{i} | \theta ) \right) ^{2} }{ F(x _{i} | \theta ) ( 1- F( x _{i} | \theta) )}$

ここで、プロビット変換を考える。

$\displaystyle probit(p) = \Phi ^{-1} (p)$

これをpで微分すると次のようになる。

$\displaystyle \frac{\partial}{ \partial p} \Phi ^{-1} (p) = \frac{1}{ \phi( \Phi ^{-1}(p))}$

また、 $\displaystyle f _{i} = \frac{n _{i}}{n}$ とおく。

これを利用してカイ二乗統計量を変換する。

$\displaystyle \chi ^{2} = n \sum _{i=1} ^{d} \frac{ ( probit(f _{i}) - (\alpha + \beta x _{i}) ) ^{2} \phi ( \alpha + \beta x _{i}) ^{2} }{ \Phi( \alpha+ \beta x _{i}) ( 1- \Phi ( \alpha + \beta x _{i}) ) }$

ここから、さらに分母と分子を修正すると、次のようになる。

$\displaystyle \chi ^{2} = n \sum _{i=1} ^{d} \frac{ ( probit(f _{i}) - (\alpha + \beta x _{i}) ) ^{2} \phi (\Phi ^{-1} (f _{i})) ^{2} }{ f _{i} ( 1- f _{i} ) }$

何か裾が広そうな場合

次のような変換を考える。

$\displaystyle trans(p) = \tan \left( \pi p -\frac{\pi}{2} \right)$

$\displaystyle \chi ^{2} = n \sum _{i=1} ^{d} \frac{ ( trans(f _{i}) - (\alpha + \beta x _{i}) ) ^{2} \cos ^{4} \left( \pi f _{i} - \frac{ \pi}{2} \right) }{ f _{i} ( 1- f _{i} ) \pi ^{2} }$