べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

ブラウン運動の二乗とマルチンゲール

担当分

概要

ブラウン運動を $\displaystyle B _{t}$ とする。

$\displaystyle M _{t} = B ^{2} _{t} -t$ がマルチンゲールであることを確かめる

計算

$\displaystyle 0 \leq s \leq t$ とする。

$\displaystyle E [ M _{t} | \mathscr{F} _{s} ]$

$\displaystyle = E [ B ^{2} _{t} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

どこからともなくBsを足したり引いたりする

$\displaystyle = E [ (B _{t} -B _{s} +B _{s} ) ^{2} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

展開する

$\displaystyle = E [ (B _{t} -B _{s}) ^{2} + 2(B _{t} -B _{s}) B _{s} +B _{s} ^{2} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

独立な増分だから第1項はt-sになる

$\displaystyle = (t-s) + E [ 2(B _{t} -B _{s}) B _{s} | \mathscr{F} _{s} ] +E [ B _{s} ^{2} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

次に第2項。Bsが $\displaystyle \mathscr{F} _{s}$ 可測なので外に出す

$\displaystyle = (t-s) + B _{s} E [ 2(B _{t} -B _{s})| \mathscr{F} _{s} ] +E [ B _{s} ^{2} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

独立なので $\displaystyle \mathscr{F} _{s}$ がなくなる。

$\displaystyle = (t-s) + B _{s} E [ 2(B _{t} -B _{s}) ] +E [ B _{s} ^{2} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

ブラウン運動の期待値が0だからこの項は0になる。

$\displaystyle = (t-s) + 0 +E [ B _{s} ^{2} -t | \mathscr{F} _{s} ]$

最後の項は $\displaystyle \mathscr{F} _{s}$ 可測だから期待値をはずせる。

$\displaystyle = (t-s) + 0 +B _{s} ^{2} -t =B _{s} ^{2} -s=M _{s}$

$\displaystyle E [ M _{t} | \mathscr{F} _{s} ] =M _{s}$ が成立したのでマルチンゲールっぽい