概要

なんかいい感じの関数fがあったとする。

$\displaystyle E [ | f(s, \cdot ) - f(t, \cdot) | ^{2} ] \leq K |s-t|^{1+ \varepsilon}$

上のような関係を満たす $K \lt \infty$ と $\varepsilon >0$ が存在すると仮定する。

このとき、どのように $t' _{j} \in [ t _{j},t _{j+1} ]$ を選んでも

$\displaystyle \int_{0}^{T} f(t, \omega) dB _{t} = \lim _{\Delta t _{j} \to 0} \sum _{j} f(t' _{j} ,\omega ) \Delta B_{j}$

となるか考える。

計算

$\displaystyle E \left[ \left| \sum _{j} f(t _{j} ,\omega ) \Delta B_{j} - \sum _{j} f(t' _{j} ,\omega ) \Delta B_{j} \right| \right]$

これをなんか色々頑張ってjensenの不等式とかで変形する。

$\displaystyle \leq \sum _{j} E [ |f(t _{j} )-f(t' _{j} )|| \Delta B_{j} | ]$

$\displaystyle \leq \sum _{j} \sqrt{ E [ |f(t _{j} )-f(t' _{j} )| ^{2} ] E[| \Delta B_{j} |^{2} ] }$

$\displaystyle \leq \sum _{j} \sqrt{K} |t _{j} -t' _{j} | ^{\frac{1+ \varepsilon}{2}} | t _{j} -t' _{j} |^{2}$

$\displaystyle = \sum _{j} \sqrt{K} |t _{j} -t' _{j} | ^{1+ \frac{ \varepsilon}{2}}$

$\displaystyle \leq \sqrt{K} T \max _{1 \leq j \leq n} |t _{j} -t' _{j} | ^{\frac{ \varepsilon}{2}} \to 0$

fに特定の条件がつけば、いとー積分と、すとらとのびっち積分が一致する。