べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

ブラウン運動でけいさんのれんしゅう

担当分

導入

W(t)をブラウン運動とし、次のようなB(t)を定義する。 signは符号関数。

$\displaystyle \int _{0} ^{t} sign (W(s)) dW(s)$

B(t)はどんな感じ？

B(t)は伊藤過程であるため、2次変分は次で計算できる。

$\displaystyle [ B ,B ] (t) = \int _{0} ^{t} sign (W(s))^{2} ds$

しかし符号関数を二乗すると常に1であるため

$\displaystyle = \int _{0} ^{t} ds$

しかしこれはブラウン運動の2次変分と等しくtとなる。

あとはB(t)がマルチンゲールであることを用いると、Levyの定理よりB(t)がブラウン運動であることがわかる。

$\displaystyle d [ B(t) ,W(t) ]$ を求める

伊藤の積の公式より

$\displaystyle d [ B(t) ,W(t) ] = B(t) dW(t) + sign (W(t))W(t) dW(t) +sign (W(t))dt$

これを積分すると

$\displaystyle E [ B(t)W(t) ] = \int _{0} ^{t} E [ sign(W(s)) ] ds$

$\displaystyle = \int _{0} ^{t} E [ 1 _{W(s) \geq 0} - 1 _{W(s) \leq 0} ] ds$

$\displaystyle = \frac{t}{2} -\frac{t}{2} =0$

積の微分

伊藤の積の公式からそのまま

$d(B(t)W ^{2} (t))$ の計算

伊藤の公式から

$\displaystyle d ( B(t)W(t)^{2} ) = B(t) dW(t)^{2} + W(t)^{2}dB(t) + dB(t)dW(t) ^{2}$

$\displaystyle = B(t) (2W(t) dW(t)+dt) + W(t)^{2} sign(W(t))dW(t) + sign(W(t))dW(t) (2W(t) dW(t)+dt)$

$\displaystyle =2B(t) W(t )dW(t) + B(t) dt +sign(W(t)) W(t) ^{2} dW(t) +2sign(W(t))W(t)dt$

$E [B(t)W ^{2} (t) ]$ の計算

$\displaystyle E [B(t)W ^{2} (t) ] = E [ \int _{0} ^{t} B(s)ds ] + 2E [ \int _{0} ^{t}sign(W(s)) W(s)ds ]$

$\displaystyle = \int _{0} ^{t} E [ B(s) ] ds + 2 \int _{0} ^{t} [ sign(W(s)) W(s) ] ds$

第一項は0になる。第二項を変形すると

$\displaystyle = 2 \int _{0} ^{t} (E[ W(s) 1_{W(s) \geq 0} ] -E[ W(s) 1_{W(s) \leq 0} ] ) ds$

正規分布に従う確率変数であることを用いて期待値を計算する

$\displaystyle = 4 \int _{0} ^{t} \int _{0} ^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 \pi s}} \exp \left( - \frac{x ^{2}}{2s} \right) dxds$

xについて積分する

$\displaystyle = 4 \int _{0} ^{t} \sqrt{\frac{s}{ 2 \pi}} ds$

のだが、これは明らかに0ではない。