べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

てけいさん

伊藤の公式の練習

概要

次の3つの確率過程 \displaystyle X _{t}について、それぞれがマルチンゲールであることを確認する。

 \displaystyle X _{t} = \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \cos B _{t}

 \displaystyle X _{t} = \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \sin B _{t}

 \displaystyle X _{t} = (B _{t} +t ) \exp \left( -B _{t} -
\frac{t}{2} \right)

方針

伊藤積分マルチンゲールであるため、それぞれの \displaystyle X
_{t}が伊藤積分の形で表現できることを確認できればOKなはず。

ひとつめ

 \displaystyle X _{t} = \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \cos B _{t}

伊藤の公式から

 \displaystyle d X _{t} = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{1}{2}t \right)
\cos B _{t} dt - \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \sin B _{t} d B _{t}
-\frac{1}{2} \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \cos B _{t} dt

1項目と3項目が消えて

 \displaystyle d X _{t} = - \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \sin B
_{t} d B _{t}

これってつまり↓の事を表している。(  B _{0}=0なので頭の中では無視する。)

 \displaystyle X _{t} = B _{0} - \int _{0}^{t } \exp \left(
\frac{1}{2}s \right) \sin B _{s} d B _{s}

伊藤積分の形で書けたから、これはマルチンゲールである。

ふたつめ

 \displaystyle X _{t} = \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \sin B _{t}

伊藤の公式から

 \displaystyle d X _{t} = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{1}{2}t \right)
\sin B _{t} dt + \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \cos B _{t} d B _{t} -
\frac{1}{2} \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \sin B _{t} dt

ひとつめと同様に1項目と3項目が消えて

 \displaystyle d X _{t} =  \exp \left( \frac{1}{2}t \right) \cos B
_{t} d B _{t}

つまりこうなる

 \displaystyle X _{t} =  \int _{0}^{t } \exp \left( \frac{1}{2}s
\right) \cos B _{s} d B _{s}

やはりマルチンゲールである。

みっつめ

 \displaystyle X _{t} = (B _{t} +t ) \exp \left( -B _{t} -
\frac{t}{2} \right)

伊藤の公式から

 \displaystyle d X _{t} = \exp \left( - B _{t} - \frac{t}{2} \right)
\left\{ \left(1- \frac{B _{t}+t}{2} \right)dt + \left( 1- B _{t} -t
\right) dB _{t}  + \frac{1}{2} \left( -2+ B _{t} +t \right) dt
 \right\}

やはり1項目と3項目が消えて

 \displaystyle d X _{t} = \left( 1- B _{t} -t  \right) \exp \left( -
B _{t} - \frac{t}{2} \right)  dB _{t}

つまり

 \displaystyle X _{t} = \int _{0} ^{t} \left( 1- B _{s} -s
\right) \exp \left( - B _{s} - \frac{s}{2} \right)  dB _{s}

マルチンゲールであった。