使うやつZ

$\displaystyle Z _{j} = f''( W ( t _{j} ) ) [ ( W ( t _{j+1} ) - W ( t _{j} ) ) ^{2} - (t _{j+1} - t _{j}) ]$

Zの性質

可測

いけそう

期待値1

$\displaystyle f''( W ( t _{j} ) )$ は $\displaystyle \mathscr{F} _{t _{j}}$ 可測であるため、条件付期待値の性質から外に出してよい。

$\displaystyle \mathbb{E} [ Z _{j} | \mathscr{F} _{t _{j}} ] = f''( W ( t _{j} ) ) \mathbb{E} [ ( W ( t _{j+1} ) - W ( t _{j} ) ) ^{2} - (t _{j+1} - t _{j}) | \mathscr{F} _{t _{j}} ]$

独立性を用いると

$\displaystyle = f''( W ( t _{j} ) ) \mathbb{E} [ ( W ( t _{j+1} ) - W ( t _{j} ) ) ^{2} ] - (t _{j+1} - t _{j})$

ブラウン運動の期待値の性質を用いると

$\displaystyle = f''( W ( t _{j} ) ) [ (t _{j+1} - t _{j})-(t _{j+1} - t _{j}) ] =0$

期待値2

$\displaystyle \mathbb{E} [ Z _{j} ^{2} | \mathscr{F} _{t _{j}} ]$

期待値１と同様に、条件付期待値の性質から

$\displaystyle = [f''( W ( t _{j} ) ) ]^{2} \mathbb{E} [ ( W ( t _{j+1} ) - W ( t _{j} ) ) ^{4} - 2(t _{j+1} - t _{j}) ( W ( t _{j+1} ) - W ( t _{j} ) ) ^{2} + (t _{j+1} - t _{j}) ^{2} | \mathscr{F} _{t _{j}} ]$

$W ( t _{j+1} ) - W ( t _{j} )$ を $W ( t _{j+1} - t _{j} )$ とあらわし、独立とかその辺の性質を用いて変形すると

$\displaystyle = [f''( W ( t _{j} ) ) ]^{2} \left( \mathbb{E} [ W ( t _{j+1} - t _{j} )^{4} ] -2 \mathbb{E} [ W ( t _{j+1} - t _{j} )^{2} ] (t _{j+1} - t _{j}) +(t _{j+1} - t _{j}) ^{2} \right)$

4乗のモーメントとかその辺の性質より

$\displaystyle = [f''( W ( t _{j} ) ) ]^{2} \left( 3( t _{j+1} - t _{j} )^{2}-2( t _{j+1} - t _{j} )^{2}+( t _{j+1} - t _{j} )^{2} \right)$

$\displaystyle =2 [f''( W ( t _{j} ) ) ]^{2} ( t _{j+1} - t _{j} )^{2}$

Zの和の期待値が $\displaystyle \mathbb{E} \left[ \sum _{j=0} ^{n-1} Z _{j} \right] =0$ となること

さっき示したことを使うと

$\displaystyle \mathbb{E} \left[ \sum _{j=0} ^{n-1} Z _{j} \right] = \mathbb{E} \left[ \sum _{j=0} ^{n-1} \mathbb{E} [ Z _{j} | \mathscr{F} _{t _{j}} ] \right] =0$

Zの和の分散の極限

期待値０であることと、期待値と分散の公式より

$\displaystyle V \left[ \sum _{j=0} ^{n-1} Z _{j} \right] =\mathbb{E} \left[ \left( \sum _{j=0} ^{n-1} Z _{j} \right)^{2} \right]$

交差項とそうじゃないのに分割すると

$\displaystyle =\mathbb{E} \left[ \sum _{j=0} ^{n-1} Z _{j} ^{2} + \sum _{0\leq i \lt j \leq n-1} Z _{i}Z _{j} \right]$

条件付期待値の性質を用いると

$\displaystyle = \sum _{j=0} ^{n-1} \mathbb{E} [ \mathbb{E} [Z _{j} ^{2} | \mathscr{F} _{t _{j}} ] ] + 2\sum _{0\leq i \lt j \leq n-1} \mathbb{E} [Z _{i} \mathbb{E} [Z _{j} | \mathscr{F} _{t _{j}} ] ]$

2項目は0であるから消える。また、1項目はさっき計算した結果を用いると

$\displaystyle = \sum _{j=0} ^{n-1} \mathbb{E} [ 2 [f''( W ( t _{j} ) ) ]^{2} ( t _{j+1} - t _{j} )^{2}]$

なんか適当に変形する

$\displaystyle = \sum _{j=0} ^{n-1} 2 \mathbb{E} [ f''( W ( t _{j} ) )^{2} ] ( t _{j+1} - t _{j} )^{2}$

でもなんか書籍であったような感じでうまい具合にこれを上から抑えることができて

$\displaystyle \leq \max _{0\leq j \leq n-1} ( t _{j+1} - t _{j} ) \cdot \sum _{j=0} ^{n-1} 2 \mathbb{E} [ f''( W ( t _{j} ) )^{2} ] ( t _{j+1} - t _{j} )$