べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

しぐまかほうぞくのぞく

状況

シグマ加法族 \displaystyle \mathscr{H} _{i} の族 \displaystyle \mathscr{H} がある、これの共通部分を取り、集合族 \displaystyle \mathscr{K} を用意する

つまりこういうこと

 \displaystyle  \mathscr{K} = \left\{ \bigcap \mathscr{H} _{i} : i \in I  \right\}

示したいこと

作った集合族 \displaystyle \mathscr{K} もまた、シグマ加法族である。

何となく分かること

集合族 \displaystyle \mathscr{K} の任意の要素は、もともとの \displaystyle \mathscr{H} _{i} 全てに含まれる要素である。

証明

次の3要素を満たすことを示せば良い

空集合

もともとの \displaystyle \mathscr{H} _{i} はシグマ加法族である。 任意の \displaystyle \mathscr{H} _{i}  \displaystyle \emptyset を含む。

つまり \displaystyle \mathscr{K}  \displaystyle \emptysetを含む。

補集合で閉じる

 \displaystyle \mathscr{K} がある要素 \displaystyle k を持つとする。

このとき、全ての \displaystyle \mathscr{H} _{i} は要素 \displaystyle k を持つ。

ここで、全ての \displaystyle \mathscr{H} _{i} はシグマ加法族であるから、 \displaystyle k の補集合 \displaystyle k ^{c} を要素にもつ

よって、 \displaystyle \mathscr{K}  \displaystyle k ^{c} も要素に含む。

可算加法性

 \displaystyle \mathscr{K} が要素 \displaystyle k _{1} ,k _{2} , k _{3}  \cdots を持つとする、

この時、全ての \displaystyle \mathscr{H} _{i}  \displaystyle \bigcup _{i=1} ^{ \infty} k _{i} を要素に含む。

全ての \displaystyle  \mathscr{H} _{i} はシグマ加法族であるから、 \displaystyle \bigcup _{i=1} ^{ \infty} k _{i} の和集合も \displaystyle  \mathscr{H} _{i} の要素に含まれる。

この性質を全ての \displaystyle  \mathscr{H} _{i} が満たす。

つまり \displaystyle  \mathscr{K}  \displaystyle \bigcup _{i=1} ^{ \infty} k _{i} の和集合を要素に含む (可算加法性を満たす)

以上3性質を示せたので、 \displaystyle \mathscr{K} はシグマ加法族である

todo

微妙に日本語がおかしいので修正する

冗長な表現が多いので修正する

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