問題１

逆だけ示す

8→2

8のようなθが存在するとき、 f= 1f =(1+0)f=(1f)+(0f)=f+θ ってことでf=f+θだから2が成立する。

8のようなθが存在するとき、 θ= 0f = (1+(-1))f = (1f) + ((-1)f)=f+((-1)*f)

で、(-1)*f∈Xであるから、これをf'とすれば3が成立する。

$\displaystyle { f _{n} }$ を一次独立とする。

すべてのnに対して $\displaystyle a _{n} =0$ とならないと仮定する。（つまり少なくとも一つ、非ゼロのaがある。）なので $\displaystyle a _{1} \neq 0$ とする。

このとき $\displaystyle \sum a _{k} f _{k} =\theta$ をいい感じに変形すれば、次のようになる。 $\displaystyle f _{1}=\sum _{k=2} \left( \frac{a _{k}}{a _{1}} \right) f _{k}$

でもこれ、一行目で一次独立って仮定したのに矛盾するからアウト。

$\displaystyle { f _{n} }$ を一次従属とする。

このとき、適当な実数列bkを用いて次のように表せる。 $\displaystyle f _{1}=\sum _{k=2} b _{k} f _{k} =0$

で、一次結合が零元になるとき、こうなるわけだけど $\displaystyle \sum a _{k} f _{k} =\theta$

このakについて、a1=-1、残りをbkとすれば、すべてkでのak=0とならないものを作れてしまう。

おわり