標本化基底と直交 - べんきのにっき

領域 $\displaystyle \mathbb{D}$ 上で定義された関数上で構成されている有限N次元ヒルベルト空間 $\displaystyle H_{K}$ がある、。

ここに標本点が $\displaystyle \{ x_{n} \}_{n=1}^{N}$ 、重みが $\displaystyle \{ w_{n} \}_{n=1}^{N}$ となる正規直交標本化基底が存在する時、N個の関数の組 $\displaystyle \{ u_{n} \}_{n=1}^{N}$ に対して、次の3条件が互いに同値であることを確認する。

なお、 $\displaystyle m,n=1, \cdots , N$ である

(i) $\displaystyle \langle u_{m} , u_{n} \rangle = \delta _{m,n}$

(ii) $\displaystyle \sum_{l=1}^{N} |w_{l}|^{2} u_{m}(x_{l}) , u_{n}(x_{l}) = \delta _{m,n}$

(iii) $\displaystyle \sum_{l=1}^{N} u_{l}(x_{m}) , u_{l}(x_{n}) = K(x_{n},x_{n}) \delta _{m,n}$

以下で確認していく

$\displaystyle (i) \Leftrightarrow (ii)$

まず、 $\displaystyle u_{m}(x) = \sum_{l=1}^{N} w_{l} u_{m}(x_{n}) , \phi_{n}(x)$ と書けることがわかる。( $\phi$ はいい感じの基底)

このとき内積がこういうかんじになる。

$\displaystyle \langle u_{p} u_{q} \rangle = \langle \sum_{n=1}^{N} w_{n} u_{p}(x_{n}) , \phi_{n}(x) , \sum_{m=1}^{N} w_{m} u_{q}(x_{m}) , \phi_{m}(x) \rangle$