ぎょうれつとないせき - べんきのにっき

RKHSな $\displaystyle H_{k}$ があるとする。

任意に固定したp個の点 $\displaystyle \{ x_{n}\}_{n=1}^{p}\subset \mathbb{D}$ に対して、 $\displaystyle f(x),g(x) \in H_{k}$ を次のようにおく。

$\displaystyle f(x)= \sum_{n=1}^{p}\alpha_{n} K(x,x_{n})$

$\displaystyle g(x)= \sum_{n=1}^{p}\beta_{n} K(x,x_{n})$

(m,n)成分が $\displaystyle K(x_{m},x_{n})$ となるようなp次正方行列をKと表す。

また、 $\displaystyle \{ \alpha_{n}\}_{n=1}^{p} ,\{ \beta_{n}\}_{n=1}^{p}$ のベクトルをそれぞれ $\displaystyle \alpha , \beta$ と書くことにする。

このとき、 $\displaystyle \langle f,g \rangle =\langle K \alpha, \beta \rangle$ となることを示したい。

とりあえず左辺にfとgの関係を突っ込んで

$\displaystyle \langle f,g \rangle =\langle \sum_{n=1}^{p}\alpha_{n} K(x,x_{n}) ,\sum_{m=1}^{p}\beta_{m} K(x,x_{m}) \rangle$

内積の性質を使って変形して

$\displaystyle = \sum_{m=1} \sum_{n=1} \overline{\beta_{m}} \alpha_{n} \langle K(x,x_{n}), K(x,x_{m}) \rangle$

再生核の性質から内積を書き換えて

$\displaystyle = \sum_{m=1} \sum_{n=1} \overline{\beta_{m}} \alpha_{n} K(x_{m},x_{n})$

内積の定義を思い出すと

$\displaystyle = \langle K \alpha , \beta \rangle$