べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

シュミットの内積の性質の確認

担当分

目的

以下で定義される、シュミットの内積の残りの性質を確認する。

\displaystyle \langle A,B \rangle := \sum_{n} \langle A\phi_{n},B\phi_{n} \rangle

以下が確認済みであるとする

\displaystyle \tag{i} \langle B,A \rangle = \overline{\langle A,B \rangle}

\displaystyle \tag{ii} \langle aA+bB,C \rangle = a \langle A,C \rangle + b \langle B,C \rangle

\displaystyle \tag{iii} \langle A,A \rangle \geq 0

\displaystyle \tag{iv} \langle A^{\ast},B^{\ast} \rangle = \overline{\langle A,B \rangle}

確認したいのは、以下の5つ

\displaystyle \tag{v} \langle XA,B \rangle =\langle A,X^{\ast}B \rangle

\displaystyle \tag{vi} \langle AX,B \rangle =\langle A,BX^{\ast} \rangle

\displaystyle \tag{vii} \langle f \otimes \overline{g} ,A \rangle =\langle f,Ag \rangle

\displaystyle \tag{viii} \langle A,f \otimes \overline{g} \rangle =\langle Ag,f \rangle

\displaystyle \tag{ix} \langle f \otimes \overline{g},u \otimes \overline{v} \rangle =\langle f,u \rangle \overline{\langle g,v \rangle}

5

まず、 XA,X^{\ast} B \in (\sigma c)になる。シュミットの内積の定義に対して、内積の性質 \langle XA\phi_{n},B\phi_{n} \rangle = \langle A\phi_{n},X^{\ast}B\phi_{n} \rangle をそのまま突っ込む。

\displaystyle \langle XA,B \rangle = \sum_{n} \langle XA\phi_{n},B\phi_{n} \rangle =\sum_{n} \langle A\phi_{n},X^{\ast}B\phi_{n} \rangle=\langle A,X^{\ast}B \rangle

となるのでだいじょうぶそう

6

\displaystyle \tag{vi} \langle AX,B \rangle \underbrace{=}_{\because iv} \overline{ \langle X^{\ast}A^{\ast},B^{\ast} \rangle } \underbrace{=}_{\because v} \overline{ \langle A^{\ast},XB^{\ast} \rangle } \underbrace{=}_{\because iv} \langle A,BX^{\ast} \rangle

7

定義に戻って変形、中に入っているシャッテン積を内積の形に戻し、外側に出す。

\displaystyle \langle f \otimes \overline{g} ,A \rangle = \sum_{n} \langle ( f \otimes \overline{g})\phi_{n},A\phi_{n} \rangle =\sum_{n} \langle \langle \phi_{n},g \rangle f,A\phi_{n} \rangle=\sum_{n} \langle \phi_{n},g \rangle \langle f,A\phi_{n} \rangle

共役の形で書き換えて、欲しい形にする。

\displaystyle = \sum_{n} \langle A^{\ast}f,\phi_{n} \rangle \overline{\langle g,\phi_{n} \rangle}= \langle A^{\ast}f,g \rangle= \langle f,Ag \rangle

8

\displaystyle \langle A,f \otimes \overline{g} \rangle =\overline{\langle f \otimes \overline{g},A \rangle} \underbrace{=}_{\because vii} \overline{\langle f,Ag \rangle}=\langle Ag,f \rangle

9

\displaystyle \langle f \otimes \overline{g},u \otimes \overline{v} \rangle = \langle (f \otimes \overline{g})v, u \rangle = \langle v,g \rangle \langle f,u \rangle = \langle f,u \rangle \overline{\langle g,v \rangle}