目的

確定的な単過程 $\displaystyle \Delta (t)$ に対する確率積分について

増分が独立であること

$\displaystyle t _{k} > t _{l}$ な $\displaystyle I (t _{k} ) - I (t _{l} )$ について増分は

$\displaystyle I (t _{k} ) - I (t _{l} ) = \sum _{j=l}^{k-1} \Delta (t) [ W (t _{j+1} ) - W (t _{j} ) ]$

でも、単過程は確定的だし、

$\displaystyle W (t _{j+1} ) - W (t _{j} ) \perp \mathscr{F} (t _{j})$

なんだけど、

$\displaystyle \mathscr{F} (t _{j}) \supset \mathscr{F} (t _{l})$

だから、独立の定義から

$\displaystyle I (t _{k} ) - I (t _{l} ) \perp \mathscr{F} (t _{l})$

であることが言える。

増分が正規分布に従う

平均

$\displaystyle \mathbb{E} [ I (t _{k} ) - I (t _{l} ) ] = \sum _{j=l}^{k-1} \Delta (t _{j} ) \mathbb{E} [ W (t _{j+1} ) - W (t _{j} ) ] =0$

分散

$\displaystyle Var ( I (t _{k} ) - I (t _{l} ) ) = \sum _{j=l}^{k-1} \Delta ^{2} (t _{j} ) Var [ W (t _{j+1} ) - W (t _{j} ) ]$

$\displaystyle = \sum _{j=l}^{k-1} \Delta ^{2} (t _{j} ) (t _{j+1} - t _{j} ) = \int _{t _{l}} ^{t _{k}} \Delta ^{2} (u ) du$

分布形

$\displaystyle I (t _{k} ) - I (t _{l} ) = \sum _{j=l}^{k-1} \Delta (t _{j} ) (W (t _{j+1} ) - W (t _{j} ))$

でも $\displaystyle W (t _{j+1} ) - W (t _{j} )$ は正規分布で $\displaystyle \Delta (t)$ は確定的な単過程つまり正規分布の線形和になる。だから正規分布になる

マルチンゲール1

$\displaystyle \mathbb{E} [ I (t _{t} ) - I (t _{s} ) | \mathscr{F} (s) ] = \mathbb{E} [ I (t _{t} ) - I (t _{s} ) ] =0$

マルチンゲール2

$\displaystyle I ^{2}(t) - \int _{0} ^{t } \Delta ^{2} (u ) du$ がマルチンゲールであることを示す

$\displaystyle \mathbb{E} \left[ I ^{2}(t) - \int _{0} ^{t } \Delta ^{2} (u ) du - \left( I ^{2}(s) - \int _{0} ^{s } \Delta ^{2} (u ) du \right) | \mathscr{F} (s) \right]$

$\displaystyle = \mathbb{E} \left[ ( I (t) - I (s) )^{2} + 2I (t) I (s) -I ^{2}(s) | \mathscr{F} (s) \right] - \int _{s} ^{t} \Delta ^{2} (u ) du$

$\displaystyle = \mathbb{E} \left[ ( I (t) - I (s) )^{2} \right] + 2I (s) \mathbb{E} \left[ I (t) -I (s) | \mathscr{F} (s) \right] - \int _{s} ^{t} \Delta ^{2} (u ) du$