べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

作用素をなんか良い感じに分解する

担当分

概要

任意の作用素 $\displaystyle A$ に対して、 $\displaystyle A^{\ast}A$ が半正値自己共役なので、平方根 $\displaystyle (A^{\ast}A)^{- \frac{1}{2}}$ が一意に定まる。 $\displaystyle [ A ]$ と書く。

Aは、 $\displaystyle [A]$ と部分等長作用素 $\displaystyle W$ を用いて、 $\displaystyle A=W[A]$ と書ける。これを極分解と呼ぶらしい。

これは、ヒルベルト空間の作用素ABに対して、 $\displaystyle A^{\ast}A=B^{\ast}B$ が成立するなら、部分等長作用素Wを用いて $\displaystyle A=WB$ と表すことができるため

で、極分解に関して以下の三つが成立する。

その1: $\displaystyle [A] =W^{\ast}A$

$\displaystyle [A] =(W^{\ast}W)[A] =W^{\ast} (W[A] ) =W^{\ast}A$

部分等長作用素の性質をいろいろ持ち出したけど省略。

その2: $\displaystyle [A^{\ast}] =W [A] W^{\ast}$

$\displaystyle W^{\ast} W[A] =[ A ]$ だから、

$\displaystyle (W [A] W^{\ast})(W [A] W^{\ast})=W [A]( W^{\ast}W [A]) W^{\ast} = (W [A])( [A] W^{\ast})=AA^{\ast}=[A^{\ast}]^{2}$

$\displaystyle [ A ]$ は半正値作用素なので、 $W [A] W^{\ast}$ も半正値作用素となる。だから平方根とってよくって

$\displaystyle W [A] W^{\ast} = [A^{\ast}]$

が成立する。

その3: $\displaystyle A^{\ast} =W^{\ast}[A^{\ast}]$

$\displaystyle W^{\ast}[A^{\ast}] = W^{\ast} W[A] W^{\ast}=[A] W^{\ast} = (W[A])^{\ast}=A^{\ast}$