べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

作用素と収束

担当分

問題

$A_{n}$ を有界な線形作用素の列とする。（ $A_{n} \in \mathscr{B}(X,Y)$ ）

$A_{n}$ が $A$ に一様収束するための必要十分条件が、Xの単位球面上の $f$ （つまり $||f||=1$ ）に対して $A_{n}f$ が $Af$ に一様収束することであることを示したい

必要性

有界作用素なので、 $||Af-A_{n}f|| \leq ||A-A_{n}||||f|| \leq ||A-A_{n}||$ となる。

なので $||Af-A_{n}f||$ が収束すれば $||A-A_{n}||$ が収束する。

十分性

$||A-A_{n}|| = \sup_{||f||=1} ||A-A_{n}||$ なので、右辺が $< 0$ なら左辺も $< 0$ 。