べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

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問題設定

\displaystyle X _{1} \cdots X _{n} ,i.i.d. \sim F(x)

分布関数F(x)に対し、ある \displaystyle \alpha >0 が存在し次が成立する

\displaystyle \lim _{x \to \infty} x ^{\alpha} (1- F(x)) = \lambda >0

最初の問題

次が成立することを示す。

\displaystyle \lim _{n \to \infty} n(1- F(n ^{\frac{1}{\alpha} }x)) = \lambda x ^{- \alpha} >0

方針

普通に変形する

\displaystyle x= n ^{\frac{1}{\alpha} }yとおく。yとかαを固定すれば、 \displaystyle x \to \inftyのとき \displaystyle n \to \inftyとなる。これを代入して変形する。

\displaystyle \lim _{x \to \infty} x ^{\alpha} (1- F(x)) = \lim _{n \to \infty} (n ^{\frac{1}{\alpha} }y) ^{\alpha} (1- F(n ^{\frac{1}{\alpha} }y)) = \lim _{n \to \infty} n y ^{\alpha} (1- F(n ^{\frac{1}{\alpha} }y)) = \lambda

両辺を \displaystyle x= y ^{\alpha}で割れば

\displaystyle \lim _{n \to \infty} n (1- F(n ^{\frac{1}{\alpha} }y)) = \lambda y ^{- \alpha}

二番目の問題

\displaystyle X_{(n)} に対して \displaystyle P(n ^{- \frac{1}{\alpha} } X_{(n)} \leq x) \to \exp ( - \lambda x^{- \alpha} ) となることを示す。

方針

\displaystyle P(n ^{- \frac{1}{\alpha} } X_{(n)} \leq x) をいい感じに変形する

いい感じに変形したやつが \displaystyle \exp ( - \lambda x^{- \alpha} ) になることを確かめる

\displaystyle P(n ^{- \frac{1}{\alpha} } X_{(n)} \leq x) = P( X_{(n)} \leq n ^{\frac{1}{\alpha} } x)

\displaystyle = \int_{- \infty}^{n ^{\frac{1}{\alpha} } x} n (F(t))^{n-1} f(t)dt = \{ F(n ^{\frac{1}{\alpha} } x) \} ^{n}

いい感じに変形できた(と思う)。

ところで、前問からFに関して次の関係が成立する。

\displaystyle F(n ^{\frac{1}{\alpha} } x) = 1- \frac{\lambda x ^{- \alpha}}{n} + o(n^{-1})

これをさっきの式に代入して、nを飛ばすと

\displaystyle \lim _{n \to \infty} \{ F(n ^{\frac{1}{\alpha} } x) \} ^{n} = \left(1- \frac{\lambda x ^{- \alpha}}{n} \right)^n = \exp (- \lambda x ^{- \alpha})

極限の処理これでいいのか？

\displaystyle