前回の記事で練習した同時介入効果の式を使って、実際に例の本の例題データが解けることを確認する。

データ

N	$\displaystyle A_{0}$	$\displaystyle L_{1}$	$\displaystyle A_{1}$	Y
2400	0	0	0	84
1600	0	0	1	84
2400	0	1	0	52
9600	0	1	1	52
4800	1	0	0	76
3200	1	0	1	76
1600	1	1	0	44
6400	1	1	1	44

書籍のTable 20.1と同じもの

グラフ

f:id:ben_key:20200724144203p:plain

書籍のFigure20.3と同じもの

まず、同時介入のための $\displaystyle Z_{1}$ と $\displaystyle Z_{2}$ を特定する。

構造が簡単なので、比較的簡単。

$\displaystyle Z_{1}$ を特定する。 $\displaystyle A_{0}$ から出るパスと $\displaystyle A_{1}$ に向かうパスを切断したものは以下。

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$\displaystyle A_{0}$ と $\displaystyle Y$ は切れているので、 $\displaystyle Z_{1}=\phi$ であることがわかる。

次に $\displaystyle Z_{2}$ を特定する。 $\displaystyle A_{1}$ パス出てないし $\displaystyle A_{2}$ がそもそも存在しないため切断不要、グラフは以下。

f:id:ben_key:20200724144203p:plain

$\displaystyle A_{0} \cup Z_{2}$ が $\displaystyle A_{1}$ と $\displaystyle Y$ を有向分離するには、 $\displaystyle Z_{2}=L_{1}$ とすればよい。

で以上で特定はできた。前回求めた同時効果の式から、計算式は以下になる。

$\displaystyle E(Y|do(A_{0},A_{1}))=\sum_{L_{1}} E(Y|A_{0},A_{1},L_{1})p(L_{1}|A_{0})$

あとは表から数字を引っ張ってきて、 $\displaystyle E(Y|do(A_{0}=0,A_{1}=0))$ と $\displaystyle E(Y|do(A_{0}=1,A_{1}=1))$ を計算しよう。

まず前者のnever treatを計算する。

$\displaystyle E(Y|do(A_{0}=0,A_{1}=0))$

$\displaystyle =E(Y|A_{0}=0,A_{1}=0,L_{1}=0)p(L_{1}=0|A_{0}=0) \\ +E(Y|A_{0}=0,A_{1}=0,L_{1}=1)p(L_{1}=1|A_{0}=0)$

$\displaystyle =84\frac{1600+2400}{16000} + 52\frac{2400+9600}{16000}=21+39=60$

次に後者のalways treatを計算する。

$\displaystyle E(Y|do(A_{0}=1,A_{1}=1))$

$\displaystyle =E(Y|A_{0}=1,A_{1}=1,L_{1}=0)p(L_{1}=0|A_{0}=1) \\ +E(Y|A_{0}=1,A_{1}=1,L_{1}=1)p(L_{1}=1|A_{0}=1)$

$\displaystyle =76\frac{4800+3200}{16000} + 44\frac{1600+6400}{16000}=38+22=60$

以上から、このcontrastは以下の通り0(因果効果なし)となる。正しい結果になった。

$\displaystyle E(Y|do(A_{0}=1,A_{1}=1))-E(Y|do(A_{0}=0,A_{1}=0))=60-60=0$