内容

$\displaystyle \sigma$ 加法族を押し出した場合にも $\displaystyle \sigma$ 加法族になることを考える練習

何年か前の自分の為に書いた。強烈にくどい書き方であるが、当時の私にはこれくらいでないと分からない。

押し出しの定義

集合X,Y

関数 $\displaystyle f:X \rightarrow Y$

集合族 $\displaystyle \mathscr{A} \subset 2^{X}$ 、 $\displaystyle \mathscr{B} \subset 2^{Y}$

を用いて、押し出しを次の通り定義する*1。

押し出し : $\displaystyle f ( \mathscr{A}) := \left\{ B \subset Y : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \right\}$

ここから、ある集合Zについて $Z \in \displaystyle f(\mathscr{A})$ を示すには、その逆像が $\displaystyle f^{-1}(Z) \in \mathscr{A}$ となることを示せばよいことがわかる。

押し出しで示したいこと

$\displaystyle \mathscr{A}$ が $\displaystyle \sigma$ 加法族なら $\displaystyle f ( \mathscr{A} )$ も $\displaystyle \sigma$ 加法族

$\mathscr{A}$ が $\displaystyle \sigma$ 加法族であることは前提になっている

このあと表記上の理由から、 $\displaystyle \mathscr{B}=f ( \mathscr{A})$ とおく。(文字数を減らしたいだけ)

1. 空集合を含む

示すべき内容

$\displaystyle \varphi _{Y} \in \mathscr{B}$

方針

特になし。 $\displaystyle f^{-1}(\varphi_{Y}) \in \mathscr{A}$ を示すだけ。

【証明】

空集合の逆像は空集合なので「 $\displaystyle f^{-1}(\varphi_{Y})=\varphi_{X}$ 」である。

仮定より $\displaystyle \mathscr{A}$ が $\displaystyle \sigma$ 加法族であるから、 $\displaystyle \varphi_{X} \in \mathscr{A}$ 。

まとめると、次の通り。

$\displaystyle f^{-1}(\varphi_{Y})=\varphi_{X} \in \mathscr{A}$

ということで、 $\displaystyle f^{-1}(\varphi_{Y}) \in \mathscr{A}$ が証明できた。

2. 補集合で閉じる

示すべき内容

$B \in \mathscr{B} \Rightarrow \displaystyle f(Y \setminus B) \in \mathscr{B}$

方針

$\displaystyle B \in \mathscr{B}$ のとき、 $\displaystyle Y \setminus B \in \mathscr{B}$ であることを確認すればよい。

そのため、 $\displaystyle \mathscr{B}$ の定義から、「 $\displaystyle Y \setminus B \subset Y$ 」と「 $\displaystyle f^{-1}(Y \setminus B) \in \mathscr{A}$ 」が成立することを示せばよい。ただし前者はまぁ自明っぽいよねということで後者だけ確認する。

【証明】

ある集合Bが $\displaystyle B \in \mathscr{B}$ とする。このとき押し出しの定義から $\displaystyle f ^{-1}(B) \in \mathscr{A}$ である。

仮定より $\displaystyle \mathscr{A}$ が $\displaystyle \sigma$ 加法族であるから、( $\displaystyle f^{-1}(B) \in \mathscr{A}$ なので、) $\displaystyle X \setminus f^{-1}(B) \in \mathscr{A}$ となる。

ここで、「 $\displaystyle f ^{-1}(Y) =X$ 」と「 $\displaystyle f ^{-1}( S \setminus T) =f^{-1} (S)\setminus f^{-1}(T)$ 」を考えると、次のようになる。

$\displaystyle f^{-1}(Y \setminus B)=f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(B)= X \setminus f ^{-1}(B) \in \mathscr{A}$

ということで、 $\displaystyle f^{-1}(Y \setminus B) \in \mathscr{A}$ が確認できたので証明できた。

3. 加算加法性を持つ

示すべき内容

$\displaystyle B _{n} \in \mathscr{B} \Rightarrow \bigcup B _{n} \in \mathscr{B}$

方針

$\displaystyle B _{n} \in \mathscr{B}$ のとき $\displaystyle \bigcup B _{n} \in \mathscr{B}$ であることを確認すればよい。

先と同様に、 $\displaystyle \mathscr{B}$ の定義から、「 $\displaystyle f^{-1}(\cup B _{n}) \in \mathscr{A}$ 」が成立することを示せばよい。

【証明】

可算個の集合 $B_{n}$ が $\displaystyle B_{n} \in \mathscr{B}$ とする。このとき押し出しの定義から $\displaystyle f ^{-1}(B_{n}) \in \mathscr{A}$ である。

仮定より $\displaystyle \mathscr{A}$ が $\displaystyle \sigma$ 加法族であるから、( $\displaystyle f^{-1}(B_{n}) \in \mathscr{A}$ なので、) $\displaystyle \bigcup f^{-1}(B) \in \mathscr{A}$ となる。