内容
加法族を押し出した場合にも
加法族になることを考える練習
何年か前の自分の為に書いた。強烈にくどい書き方であるが、当時の私にはこれくらいでないと分からない。
押し出しの定義
集合X,Y
関数
集合族、
を用いて、押し出しを次の通り定義する*1。
押し出し :
ここから、ある集合Zについてを示すには、その逆像が
となることを示せばよいことがわかる。
押し出しで示したいこと
が
加法族なら
も
加法族
が
加法族であることは前提になっている
このあと表記上の理由から、とおく。(文字数を減らしたいだけ)
1. 空集合を含む
示すべき内容
方針
特になし。を示すだけ。
【証明】
仮定よりが
加法族であるから、
。
まとめると、次の通り。
ということで、が証明できた。
2. 補集合で閉じる
示すべき内容
方針
のとき、
であることを確認すればよい。
そのため、の定義から、「
」と「
」が成立することを示せばよい。ただし前者はまぁ自明っぽいよねということで後者だけ確認する。
【証明】
ある集合Bがとする。
このとき押し出しの定義から
である。
仮定よりが
加法族であるから、(
なので、)
となる。
ここで、「」と「
」を考えると、次のようになる。
ということで、が確認できたので証明できた。
3. 加算加法性を持つ
示すべき内容
方針
のとき
であることを確認すればよい。
先と同様に、の定義から、「
」が成立することを示せばよい。
【証明】
可算個の集合が
とする。
このとき押し出しの定義から
である。
仮定よりが
加法族であるから、(
なので、)
となる。
ここで、「」を考えると、次のようになる。
ということで、が確認できたので証明できた。
補足:証明のために必要な内容
式変形でしれっと使用した関係がいくつかあるので、書いておく。
関係1 : 
これ約束か定義だと思う。
関係2 : 
これは逆像の定義をよく考えたら全射、単射に関係なく成立する。
関係3 : 
関係4 : 
*1:押し出しも引き戻しも、どちらも逆像で定義している