概要

$\displaystyle E^{x} [ 1_{[ K ,\infty) }(B_{T})| \mathscr{F} _{t} ] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi (T-t)}} \int^{\infty}_{K} \exp \left( - \frac{(x-B _{t}(\omega))^2}{2(T-t)} \right) dx$

のとき、一般の関数fでの期待値はどう考えたらいいの？的な話だと思う。

考え方？

指示関数 $\displaystyle 1_{A}$ での期待値が最初の式で書けることが分かっているんだから、

$\displaystyle E^{x} [ 1_{[ K ,\infty) }(B_{T})| \mathscr{F} _{t} ] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi (T-t)}} \int_{R} 1_{[ K ,\infty) }(B_{T}) \exp \left( - \frac{(x-B _{t}(\omega))^2}{2(T-t)} \right) dx$

に書き換えられそうだし、fも↓みたいな感じにすれば

$\displaystyle f = f^{+} - f ^{-}$

f+もf-も、こんな感じの単関数列で書けて

$\displaystyle f^{\cdot}_{n}(x) = \sum _{i} \alpha _{i} 1_{A_{i}}(x)$

$\displaystyle f^{\cdot} _{n} \nearrow f^{\cdot}$

ってできそうだから、単調収束定理とかで

$\displaystyle E^{x} [ f(B_{T})| \mathscr{F} _{t} ] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi (T-t)}} \int_{R} f(x) \exp \left( - \frac{(x-B _{t}(\omega))^2}{2(T-t)} \right) dx$