べんきのにっき

いろいろと垂れ流します。

上と下

概要

集合列に対する上極限と下極限を日本語で書く練習。

何人も記事書いてて今更感あるけど、過去の自分が書いたポエム。

注意

数学を真面目に学ぶ必要がある人には参考にならない。 そもそも見る人いないと思うけど。

目標

集合列 A _{n}があるとする。

下極限について、「 \displaystyle x \in \liminf _{n \to \infty} A _{n}」とは「有限個のnを除いて \displaystyle x \in A _{n}

上極限について、「 \displaystyle x \in \limsup _{n \to \infty} A _{n}」とは「無限個のnに対し \displaystyle x \in A _{n}

って書けるんだねー、と感じられる。

下極限

まず下極限から。

とりあえずこのままだとよくわからないので定義の方に書き直す。

 \displaystyle  \liminf _{n \to \infty} A _{n} = \bigcup _{m \geq 1} \bigcap _{n \geq m} A _{n}

書き直せた。

 \displaystyle  \bigcup _{m \geq 1} \bigcap _{n \geq m} A _{n}は、 \displaystyle \bigcap _{n \geq m} A _{n}の和集合になる。

 \displaystyle  x \in \bigcup _{m \geq 1} \bigcap _{n \geq m} A _{n}であるなら、どこかのmで \displaystyle   x \in \bigcap _{n \geq m} A _{n}となっていればよい。

つまり、ある特定の(有限の)kが存在し \displaystyle x \in \bigcap _{n \geq k} A _{n}とできなければ、要素xは A _{n}の下極限に含まれることができない。

これは、 \displaystyle  x \in \bigcup _{m \geq 1} \bigcap _{n \geq m} A _{n}なら、そのkより先の  \displaystyle     A _{m} ,(m \geq k)について、常に    \displaystyle  x \in A _{m} ,(m \geq k)となる事を意味する。

みたいなのをなんとなくそれっぽく書くと、「(ある)有限個のkより先には、常に x \in A _{n}が成立している」感が出てくる。

書けた気がする。

上極限

次に上極限、やはり同様によくわからないので定義に書き直す。

 \displaystyle  \limsup _{n \to \infty} A _{n} = \bigcap _{m \geq 1} \bigcup _{n \geq m} A _{n}

書き直せた。

 \displaystyle  \bigcap _{m \geq 1} \bigcup _{n \geq m} A _{n}は、 \displaystyle \bigcup _{n \geq m} A _{n}の共通部分になる。

 \displaystyle  x \in \bigcap _{m \geq 1} \bigcup _{n \geq m} A _{n}であるなら、すべてのmで  \displaystyle    x \in \bigcap _{n \geq m} A _{n}となっていればよい。

つまり、どのようなkをとってきても、  \displaystyle     x \in \bigcup _{n \geq k} A _{n}とできなければ、要素xは A _{n}の上極限に含まれることができない。

これは、 \displaystyle  x \in \bigcap _{m \geq 1} \bigcup _{n \geq m} A _{n}なら、どんなにkをめちゃくちゃ大きくとっても、それより先のどこかで  \displaystyle     x \in A _{k'} ,(k' \geq k)となる k'が存在することを意味する。

みたいなのをなんとなくそれっぽく書いて、「無限(に大きくしてもOKな)なkより先にも、どこかで絶対に x \in A _{n}が成立している」感が出てくる。

ポエム(メモ)

ルベーグ積分の教科書に自分が書いたメモがあったので書き起こした。

こういう日記は他人の目から見て分かりやすいとは限らないよねー、って思った。

三日経って見直したら、何書いてんだこいつ?って自分でも思うはず。

まぁ、メモだし。